קלקולוס – איך מחשבים 100+… 1+2+3+4+5

כשאחי הגדול למד למכינה בטכניון, היה לו ספר קלקולוס גדול. המילה קלקולוס שפרושה חשבון גוזרת גם את המילה קלקולטור (מחשבון) וקלקולציות (חישובים). הספר הזה היה גדול ומפחיד ובעיקר גרם לי להרגיש קטן מול המטמתיקה הענקית הזו של הטכניון. דרך אגב, בסוף סיימתי את הטכניון ועדיין הספר נראה מאד מפחיד.

המילה קלקולוס בלטינית משמעותה אבן. מה עניין אבן לחשבון? זהו, שיש קשר מאד מאד מעניין. בתקופה העתיקה, לפני שהערבים הביאו את החשבוניה לאירופה, היו מניחים חלוקי אבן על משטח חול ובעזרתם מחשבים חישובים. מורים גדולים כגון פיתגורס היו לוקחים את תלמידיהם אל חוף הים ושם בעזרת אבנים וחריטה בחול היו מגלים סודות מתמטיים מופלאים.

הנה סיפור יפה על חשיבה של אבנים. האגדה מספרת על קרל פרידריך גאוס, לימים מתמטיקאי דגול, אשר בילדותו ישב בכתה כאשר המורה החליט להעניש את כל הכיתה. העונש היה לחשב 1+ 2+ 3+ 4… כך עד 100. המורה היה כמובן בטוח שפרט לעונש ההולם הוא גם יזכה לקצת מנוחה עד שהילדים יגיעו לתוצאה. לאכזבתו, גאוס הצעיר הרים את ידו לאחר כדקה ונתן את התשובה 5050. הילד חשב בדיוק כמו פיתגורס בזמנו שפתר את התרגיל עם אבנים בצורה הבאה: מסדרים אבנים בצורת משולש, תחילה אבן אחת אחריה 2 3 4 עד למספר כלשהו. נניח 5. עכשיו מסדרים כמו בציור הבא בדיוק אותו משולש אבנים רק הפוך. יוצא מלבן שבו צלע אחת היא 5 וצלע שנייה 6. עבור כל N שנבחר יהיה צלע אחת N וצלע שנייה N+1. את כמות האבנים עכשיו קל לחשב, פשוט מכפילים. מכיוון שבסידור הזה הנחנו כמות כפולה של אבנים יש לחלק את התוצאה בשתיים. זהו. עבור סדרה כזו מ1 עד 100 התשובה תהיה 100×101 חלקי 2

יש שאומרים שהילד לא היה גאוס אלא ברוך שפינוזה. הרוסים טוענים שזה ניקולאי לובצ'בסקי ואני טוען שזה יונתן חברי מכתה ד'. האמת הברורה בסיפור זה התרגיל.

ניתן להגיע לנוסחאות מתמטיות רבות ונוספות בעזרת חישוב אבנים ודוגמאות לכך ניתן למצוא בספרו של חיים שפירא על האינסוף ובאתר לדוגמא: כאן או כאן

ואם כבר בפיטגורס עסקינן, הנה הוכחה גרפית יפה למשפט פיתגורס. אחת מתוך לפחות 367 הוכחות, אחת מהן של אחד מנשיאי ארצות הברית.

http://shefa.leshanot.com/math.htm